La scala naturale e la scala temperata
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do’ re mi fa sol la si do’’
Semplice no? Però sappiamo bene che le scale non sono costruite in questo modo (tralasciamo un attimo la scala cromatica). Forse con la sola eccezione della scala sléndro dell’Isola di Giava (non so se ne esistano altre), formata da cinque suoni (pentatonica) uguali (considerate che nella musica indonesiana le accordature sono molto complesse e anche le scale possono variare a seconda dell’orchestra e le zone). Se volete, potete ascoltare un esempio di orchestra giavanese:
https://www.youtube.com/watch?v=UEWCCSuHsuQ
Qual è l’aspetto fondamentale a cui accennavo prima? I nostri antenati già nell’antichità avevano “sentito” che i suoni si ripetono dopo un certo intervallo di frequenza: ad una frequenza doppia il suono risulta uguale, ma più acuto. L’ottava è quindi un aspetto naturale della musica, se si prende semplicemente una corda e si dimezza la sua lunghezza la frequenza delle vibrazioni raddoppia. Ma non solo! Si erano anche accorti che alcuni suoni messi assieme suonano meglio di altri. Tra poco vedremo quali, e come. Prima però una domanda, tra le tante possibili: la scelta di questi suoni dipende da come la nostra mente in modo innato li mette assieme o piuttosto dall’ambiente culturale e sonoro nel quale siamo cresciuti? I suoni più consonanti sono gli intervalli di quarta e di quinta e naturalmente l’ottava. La matematica dimostra che sono quelli che danno origine a rapporti semplici (2:1 – 3:2 – 4:3) in termini di lunghezza della corda. Il procedimento pitagorico ci aiuta a capire il fenomeno che chiamiamo consonanza.
1 un metro L
---------------------------------------------------------- 60 trattini - ottava
2/3 di L
---------------------------------------- 40 trattini – intervallo di quinta
3/4 di L
--------------------------------------------- 45 trattini – intervallo di quarta
L= 1 (metro) - 3/2L=0,66 - 4/3L=0,75 - 4/3*3/2=2 (infatti il rapporto tra l’intervallo di quarta e quello di quinta ci dà l’ottava – più avanti lo verifichiamo). Abbiamo così ottenuto do’ – fa – sol – do’’ mancano re, mi, la, si. Se moltiplichiamo 3/2 x 3/2 (cioè 3/2 al quadrato) otteniamo la quinta di sol (cioè re) ma all’ottava superiore quindi dividiamo per 2 (o moltiplichiamo per 1/2) e abbiamo anche re equivalente a un rapporto di 9/8. Procedendo per quinte eleviamo ora 3/2 al cubo e moltiplichiamo di nuovo per 1/2 otteniamo la (la quinta di re equivalente a 27/16) A questo punto do’ – re – fa – la – sol – do’’ li abbiamo ottenuti semplicemente partendo dalla lunghezza della nostra corda. Geniale, vero? D'altronde anticamente non potevano certo misurare le frequenze! Come ottenere gli altri suoni? La pentatonica è una delle scale più diffuse in tutte le culture musicali, il che fa pensare che a parte i calcoli dei pitagorici è molto probabile che in popolazioni meno avvezze alla matematica si sia proceduto soprattutto a orecchio. Sembra che lo strumento più antico finora trovato sia una sorta di flauto a cinque buchi risalente a circa 35000 anni fa: dubito che all’epoca la pentatonica l’abbiano ottenuta con la matematica (o forse sì…). In ogni caso, nonostante i molti studi disponibili, le origini della musica sono ancora incerte. La mia idea è che in effetti qualcosa di innato o istintivo ci debba essere, magari il bisogno di comunicare oltre le parole e i gesti, trasmettere significati inesprimibili con i gesti e la ragione come le emozioni. Non per banalizzare, ma potrebbe trattarsi di un prodotto combinato dell’istinto e della cultura. Un po’ come per il linguaggio, alla base del quale c’è una sottostruttura che ci guida nell’accostare i suoni (e quindi le parole) in un modo che per noi abbiano senso. Alcune ricerche dimostrano che anche i bambini di pochi anni e addirittura di pochi mesi sono già in grado di distinguere una gerarchia tra i suoni.
Completiamo ora la scala. A questo punto possiamo notare che elevando 3/2 sia per 4 che per 5 (e dividendo sempre per 2) abbiamo ottenuto il circolo delle quinte ascendenti e la scala così composta:
do’ – re – mi – fa – sol – la – si – do’’
Ora se andiamo avanti con 3/2 elevato a 6, a 7 ecc. troviamo le note con i diesis (attenzione, però, che dobbiamo cambiare anche la potenza di (1/2) dato che andiamo oltre la seconda ottava. Tutti conosciamo il circolo delle quinte ascendenti. A questo punto qualcuno potrebbe domandarsi (o almeno lo spero) come si ottiene il circolo delle quinte discendenti, ecco la formula: (3/2)x2 - (2/3)#2x22 - (2/3)#3x22 - (2/3)#4x23 - (2/3)#5x23 - (2/3)#6x24
Il problema è che con questo metodo i diesis e i bemolli non coincidono. Infatti, applicando le formule: (3/2)#6x(1/2)3 e (2/3)#6x24 abbiamo 729/512 e 1024/729 che sono il fa# e il solb ed è facile constatare che non coincidono. Il sistema temperato ha “equalizzato” i suoni alterati, permettendo di avere quella che chiamiamo enarmonia, dove fa#=solb. Per tornare a quanto si diceva prima in effetti la scala cromatica rappresenta una scala dove l’ottava è stata suddivisa in 12 suoni uguali. Potete fare una ricerca per approfondire le conoscenze sulla scala temperata, l’importante è che sia chiaro il concetto di scala naturale e la loro differenza. Nelle diverse culture musicali sono presenti anche altre scale, per quarti di tono, come per esempio nella musica indiana e araba, o scale con rapporti intervallari diversi e sonorità molto distanti dalla nostra scala maggiore. L’importante è la gerarchia tra i suoni, più avanti vedremo il perché.
Vi consiglio di curiosare su youtube, ma anche di approfondire l’ascolto e la comprensione di sistemi musicali diversi dal nostro. La storia degli strumenti musicali e anche la conoscenza di strumenti utilizzati in altre culture e altri popoli sono fondamentali per una formazione “culturale” completa e consapevole.
Vediamo ora le tabelle dei suoni non in termini di rapporti rispetto all’ottava, ma di frequenze.
Le frequenze della scala maggiore riportate sono quelle del LA a 440 hz. Ho chiamato “scala teorica” quella della mia ipotesi più semplice, cioè prendere una corda e dividerla in 7 parti uguali. Le frequenze della scala pitagorica le ho calcolate partendo dai 262 hz del DO della scala maggiore perché fossero comparabili. Nell’antica Grecia, così come durante tutto il corso della storia della musica, le intonazioni erano diverse da quella standard moderna. Le leggere differenze dei valori di frequenza sono dovute alla libertà che mi sono preso nei vari arrotondamenti.
Le tabelle mettono in evidenza:
1) la differenza di frequenza tra i toni della scala maggiore temperata (14.05 si riferisce alla differenza tra DO’ e il SI dell’ottava precedente). È evidente che la distribuzione dei suoni non è omogenea;
2) la differenza di distribuzione delle frequenze tra la scala maggiore e quella che ho chiamato scala teorica. A questo proposito per rendere l’idea ho usato i due grafici. Anche se le note non sono grandezze continue le due rette dovrebbero rendere l’idea del fatto che le due scale hanno comportamenti diversi. Nel grafico di sinistra la retta risulta spezzata, questo per effetto dei semitoni naturali Mi-Fa – Si-Do. Questa distribuzione delle note dà origine al tritono (i tre toni interi che formano le note Fa(T)Sol(T)La(T)Si che è l’elemento fondamentale che nel nostro sistema tonale permette di sentire l’effetto della cadenza e le diverse relazioni gerarchiche degli intervalli della scala. Inoltre riflettendo un po’ più a fondo notiamo che il Sol nel grafico a sinistra è perfettamente centrale (lo so, così a occhio non è evidente) infatti: ((523-261)/2)+261=392 e scopriamo così che la dominante è in una posizione centrale della scala e probabilmente anche per questo il nostro orecchio la percepisce come la nota più “significativa” dopo la tonica. Un’altra osservazione importante: gli intervalli sono sempre complementari. Il rivolto di un intervallo di quinta è una quarta, il rivolto di un intervallo di sesta è una terza e così via (la somma deve sempre dare 9), tenendo naturalmente conto della qualità degli intervalli: maggiore, minore ecc.
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